・等角航路とは

地球上の２つの地点ＡとＢを結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度（蛇角）が常に一定になるもの。（最短距離ではない）

・  メルカトル図法の特徴

メルカトル図法は地図投影法の一種であり、円筒図法の一つである。円筒図法とは、地球儀に紙を円筒のように巻き付け、それに投影してつくる図法であり、メルカトル図法は円筒図法の中でも非投射図法という。

その図法の特徴として、すべての経線が等間隔かつ平行な直線である。そして緯線の間隔を数式で与えているので、そのまま移しとるのではなく、少し調整が加えられている。また経線と緯線は常に直交している。つまり経度と緯度を格子状に配置させ、経線と緯線の比率を一定に保ったものなので「正角円筒図法」と呼ばれる。

Cf.正角図法とは

地図上のどの地点でも、経線とのなす角が正しく表される図法。

【理由・自分の考え】

メルカトル図法は正角円筒図法で、正角図法の円筒図法ということである。そして経線と緯線が直交している。

経線が直交し、正角図法なら、２点Ａ．Ｂのなす角は錯角により等しくなる。（下図）

・メルカトル図法

 この図法の特徴は、緯度と経度を格子状に配置させ、緯線と経線の比率を一定に保ったもので、地球を円筒に投射し、それを書き写したものを長方形に広げ、縦方向に必要に応じて局所的な拡大を加えたものと言える。そのため「正角円筒図法」とも呼ばれる。

・等角航路 

等角航路とは地球上の2点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度が常に一定になるものをいう。等角航路は、現在どの地点まで進んでいるかを考慮する必要がなく、常に一定の舵角を維持すればよい。

さて、ここで本題に戻る。なぜメルカトル図法の等角航路は直線になるのだろうか？

これは、メルカトル図法で直線を引くと等角航路になる、と考えると分かりやすいと思う。

ここで�@と�Aを比べてみる

ここでは、経線Ｑが直線であるので、直線Ｐと交わって対頂角が等しいので、∠�@＝∠�A････☆ 

次に�@と�Bを比べてみる。

経線Ｑと経線Ｒは平行なので、同位角は等しくなり、∠�@＝∠�Bになる。・・・・★ 

次に�Bと�Cを比べてみる。

これも☆と同じように考えると∠�B＝∠�Cとなる。････＊

よって、☆、★、＊から∠�@＝∠�A＝∠�B＝∠�Cになる。

つまり、経線が平行ならどんな直線を引いても経線とその直線のなす角度は一定になることが分かった。 

等角航路の定義は、地球上の2点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度が常に一定になる航路、である。

故に直線Ｐは等角航路である。

したがって、メルカトル図法では等角航路が直線であることが証明された。

　　　　　　　　　　　　　　　感想 

今回の課題は、とても難しかった。作業が面倒くさいというのではなく、ほとんどない手がかりだけで、どういう説明をすればいいのかを考えなくてはいけなかったからだ。ネットは、ほとんど使わず自分の頭の中で考えたので思慮浅いところがほとんどで、あまりうまく説明は出来ていない気がする。しかし、それでもしっかり考えて答えをだしたということは、とてもいい経験になったと思う。

 あまりパソコンが得意ではなく、図などを書くときに戸惑ってしまったのでこれからはできるだけテキパキとできるようになりたい。 

この課題は、決まった答えがなくどこのサイトにもヒントがのっていないので、難しくもあったがやりがいがあった。今までこのような課題はやったことがなかったのですこし手間取った。今度、またこのような課題をこなす機会があると思うので、楽しみにしている。 

メルカトル図法とは、1569年、現在のベルギー辺り出身の、ゲラルドゥス・メルカトル（Gerardus  Mercator）がオランダで発表した地図に使われた地図投影法です。別に、彼のオリジナルな地図投影法というわけでもないそうです。円筒図法の一つで、その正角性から正角円筒図法とも云われます。主に海図・航路用地図として用いられる他、一般に世界地図と言うとこれを思い浮かべる人が多いようです。

　緯度と経度が直行していて、形が長方形なので見やすさ抜群です。地球を円筒に投射し、それを書き写したものを長方形に広げ、縦方向に必要に応じて局所的な拡大を加えることで完成です。このために正角円筒図法と云われるようです。この図法を用いた地図において、出発地と目的地との間に直線を引き、それが経線と作る角度を測り、コンパスなどを見ながら常にその角度へ進むようにすれば必ず目的地に到着します。この性質のことを、正角性といいます。そしてこうして通ったルートを航程線いい、最短距離とは大分ずれますが、舵取りなんかが楽なので、割と昔から利用されてきました。こういう時には便利な図法ですが、高緯度になるにつれ、だんだん歪んでいき、極部分などは表記不可能だったりするので、残念な感じです。一長一短っていうことです。

　先に述べたように、メルカトル図法において、等角航路は直線になります。　何故か！

　とりあえず、東京からガザ地区（場所はおよそ）を地図で結んでみます。一つ目が日本中心の正距方位図法、二つ目はメルカトル図法で表した地図です。緑線が最短距離、赤線が等角航路です。

　東京から西西西西西南西の方向、真西から1.40625度南の方向に進むとき、経線と進む方角が作る角度は88.59375度、です。よって、常にコンパスなどでその方向に向かっていることを確認しながら進めば、緯線⊥経線なのでその進行方向と緯線が作る角は、90−88.59375＝1.40625度になります。緯線は全部平行なので、どの緯線とも1.40625度で交わります。以上より、緯線経線が格子状になっているこの図法においては、等角航路は直線になります。別にこんな意味不な方角でなくとも、コンパスなどで確認しつつ、同じ方角に進めば、しっかりと直線になります。

１・・・知識の整理

　まず、自分のなかでのメルカトル図法、等角航路などについて整理してみます。

　メルカトル図法は、厳密には世界全図は表せない（極では）。

２・・・ではなぜ、メルカトル図法では等角航路が直線になるのか。

　では、仮に東京からバンコク（上の図より）へ行くとすると、こう考えてみました。

�Aメルカトル図法の地図上の２点を結ぶ直線と経線とのなす角が、北に対する角と同じ。これは、メルカトル図法を見てみるとわかります。（当然ですが）

�@と�A、また地球儀で東京からバンコクへ行く時の直線と、メルカトル図上の直線は同じことを考えると、メルカトル図法の等角航路は直線になります。

感想

初めてレポートの内容がwebで調べても出てこないというもので、このレポートを通して初めてよく考えました。正直、webを見ても載っていなかったので、出典などはありません。よって、そのページを写した。ということをしていないので、自分でもこれで正解かわからないし、とてもまとまりがなかったと思います。

しかし、そのほかにもメルカトル図法と地球儀の関係を自ら考えられたのは良かったです。

このように、等角航路はメルカトル図法の地図上の２点を結ぶ直線と経線との成す角が、北に対する角と同じになります。

参考　[1]　[２]

課題を説明するにあたってメルカトル図法と等角航路の二つの言葉を定義するひつようがある。

メルカトル図法・・・１５６９年、ゲラルドゥス・メルカトルがオランダで発祥した地図に使われた地図投影法。円筒図法のひとつでその正角性から正角円筒図法ともいう。（オランダというのは、かつてのウィキペディアの間違い・田代注）

等角航路・・・・・・地球上の２点間を結ぶ航路のうち進行方向が経線となす角度（舵角）が常に一定となるものをいう。航程線ともいう。

ここからは課題を説明する。

　メルカトル図法での経線は地図の垂直線と水平線で表される。緯線も同様である。そのため、赤道付近ではひずみは小さくなり、経線方向のひずみと緯線方向のひずみが等しくなるように、緯線間隔を補正して正角にしている。よってこの地図で出発地の経線と目的地の緯線は常に直角なのであり、どの任意の点において正角性で、等角航路を書いたときその上がすべて点として考えるとその点すべてにおいて、出発地とその点は直角三角形の頂点だといえ、さらにすべての直角三角形は出発地を中心とする相似な関係になっている。よって出発地と目的地までの等角航路は直線で表される。又、常に舵角を一定にすれば、それが等角航路でもあるといえる。

０を出発地、Ａを目的地、Ｅを出発地の経線と目的地の緯線との交点、Ｆを等角航路上の点、ＨをＦの緯線と０との交点、矢印の先の角を進行方向が経線となす角度（舵角）とする。また緯線は南北７５度付近までが実用範囲である。

出典：ウィキペディア

　　　投影図図法

�@ある一点で、ある方向に向かっていくと、動く距離が小さければ小さいほど、動いた軌跡がより直線に近くなる。それが組み合わさっていくことで直線になっていく。。

�Aメルカトル図法は緯線を赤道と同じ長さにのばす。その横にのばした分を縦にものばす。

そうすると角度が等しくなる。よって直線になる。。

出典：ウィキぺディアより

(1) メルカトル図法と等角航路の関連

メルカトル図法は1枚の長方形の中に世界全図を書き込む事が出来る、経線からの角度が正しい等角図法である。この図法は正角であり経線が平行直線であることから地図上の二点を結ぶと、其れが等角航路となる。

等角航路…地球上の2点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度（舵角）が常に一定となるものをいう。

(2) 等角航路の証明｛定義は(1)に準ずる。｝

証)此処では、AB間を結ぶ航路を考え、等角航路であることを示す。

B’及C’は辺AB及辺BC上の点である。

上図にて��ABC∽��AB’C’(∵二角相等)

又、BC及び各経線は平行であるのでABは各経線と同じ角度で交わる。

故、線分ABは両端を結ぶ等角航路である。

(Q.E.D.)

(3) 感想

授業で等角航路を学習したがその仕組みがどうなっているのかは自分の中では曖昧であった。特に、今回の課題でもあるメルカトル図法で等角図法が何故直線になるのかも説明出来なかった。しかし今回の課題を通じて、それらが説明できるようになり良かったと思う。メルカトル図法は16世紀頃に発見されたものだそうで、当時の大航海時代の遠距離航海を反映した由緒あるものだと思った。その頃にも図法について様々な試行錯誤があったのだと思う。今後は他の図法についても調べて仕組みを解明していきたい。

(4) 参考文献

(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92%E8%88%AA%E8%B7%AF

(http://atlas.cdx.jp/projection/prj13.htm

終

メルカトル図法とは？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　近代地図学の祖であるメルカトルが１５６９年にオランダで発表した世界地図に使われていた手法として知られている。

　この図法の特長は、経度と緯度を格子状に配置させ、緯線と経線の比率を一定に保ったもので、「地球を円筒に投射し、それを書き写したものを長方形に広げ、縦方向に必要に応じて局所的な拡大を加えたもの」と言える。そのため「正角円筒図法」と呼ばれる。

このメルカトル図法は、経線に対して等角に直線上を進むと目的地に到達できるという利点があり、船の航行のための航路図として利用されている。ただし、この航路は最短航路を表すものではなく、最短航路を表すものは、大圏航路と言われる。ここが、注意すべき点である。これは、出発点と到着点を通る大円（球の中心を通る平面で球面を切ったときの切り口の円）に沿う航路なのだ。では、ここで本題に入ろう。

本題

　なぜメルカトル図法では等角航路が直線になるのか。　まず、二点間の線を結ぶ時、地球儀では、等角航路は進行方向が経線となす角度が常に一定となるものをいうため

しかし、メルカトル図法の地図上にこの線を描くと、すべての緯線は赤道と同じ長さになっているため緯線と経線はそれぞれ平行の位置にあるということである。

　　ということは、同位角ということになり引かれている線は直線であるということが証明できる。

　　よって、メルカトル図法上の等角航路は直線になる。

―出典―

　Wikipedia

　山尾先生の筑附通信

＜メルカトル図法の特徴＞

�@正角図法（地球上の角の大きさが地図上に正しく表現されている図法）

　　↓

　等角航路（地球上の２点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線　となす角度（舵角）が常に一定となるものをいう）が直線で表せる

　　↓

経線に対して等角に直線上を進むと目的地に到達できる

　↓

船の航行のための航路図として利用されている

�A円筒図法（地図投影法の分類のひとつで、地球に巻き付けた円筒に地物を投影して作られる図法）

＜等角航路が直線になる理由＞

地球上では緯線と経線がすべて直角に交わっている。

メルカトル図法は緯線と経線の交わる角をすべて直角で表し、

すべて角を正しく表記しているので、

上のメルカトル図法で直線を引いた時にできる角の大きさも

すべて正しく表記される。

アメリカのある地点から南アフリカのある地点まで結んだ時、

経線となす角がいつも一定であることがわかる。

このオレンジの線が等角航路を示しているから、

等角航路は直線になることがわかる。

語句の確認

メルカトル図法・・・地図投影の一種。正角円筒図法。経線は平行直線で、その間隔は標準緯線弧長と等しい正距にする。緯線はそれと直交する平行直線で、間隔は緯度が高くなるほど広がり、極は無限遠になり表されない。地図上の任意の直線は地球上の航程線（地球上で方位が一定の線）を表し、すべての経線との交角が等しく、その交角は地球上の方位角を正しく表す。この性質から航海用の海図に用いるように国際的に指定されている。これとよく混同される心射円筒図法は、正角図法でなく航程線も直線に表されない。

等角航路・・・等角航路（とうかくこうろ）とは、地球上の2点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度（舵角）が常に一定となるものをいう。航程線とも呼ばれる。

メルカトル図法においての等角航路が直線になる理由

図１はメルカトル図法における等角航路と大圏航路

図２はメルカトル図法の面積の誤差(赤い円は同じ面積を表す)

図３は正距方位図法における等角航路と大圏航路

メルカトル図法のすべての緯線は赤道と同じ長さになっている。それだけ横に拡大されていて、その分縦にのばす。なので、図２のように面積に誤差が生じてしまう。また図１、図３でメルカトル図法の等角航路は直線になり、正距方位図法の等角航路は曲線になる。

こうなるのはメルカトル図法が正角図法で地球上の１地点において２つの方向線が作る角と、対応する地図上の２つの方向線が作る角が等しいと定義されていて、任意の地点間の方向が正しく表現されるわけではないからである。

感想

図などの引用に時間がかかってしまった。また、課題の意味の解釈がうまくできずに若干曖昧な結論になってしまったような気がする。

１：メルカトル図法の基本事項

メルカトル図法は、正角図法（地図上の2線のなす角が地球　　上の角度と等しくなるような図法）の代表例。図法の作成法・性質から分類すると、正角円筒図法になる。

この図法の原理は、すべての緯線が、赤道と同じ長さになること。従って、高緯度に向かうにつれて、緯線の長さは拡大される。緯度６０度の場合、緯線の長さは赤道の1/2なので、地図上では２倍に拡大されることになる。正角の性質を持たせるためには、緯線方向に伸びた分、経線方向にも伸ばさなくてはいけないので、緯度６０度では、長さは２倍、面積は４倍になる。

２：なぜ、メルカトル図法では等角航路が直線になるのか？

青の三角形をメルカトル図法に直す時、経度６０度に位置しているので、縦と横を２倍にする。　

　　　縦と横をそれぞれ同じ比率のばしているので元の図形（地球儀上の図形）と、のばしたあとの図形（メルカトル図法の図形）は相似の関係となっている。相似の関係であることから、対応する角度がそれぞれ等しいということが言えるので、地球儀上の角度がメルカトル図法にそのまま保存されている。よって、メルカトル図法の緯線、経線はそれぞれ平行で、緯線と経線は直交していることがいえる。

　　�Aその次に等角航路とは何かを確認する。

　　　簡単に一言で説明すると、等角航路とは、蛇角を一定にして進むルートのことをいう。蛇角とは、経線に対してなす角である。

　　�Bまとめ

　　　等角航路が直線になるには、出発地と到着地の２点をつないだ直線とすべての経線とのなす角が等しくなくてはいけない。�@より経線はどれも平行だと分かったので、任意の直線とのなす角は、平行線での同位角は等しいことから、どこも等しいということがいえる。

　　　よって、メルカトル図法は等角航路が直線で表される。

３：参考文献

　　　・知って楽しい地図の話　新日本出版社　田代博

　　　・Wikipedia

(�T)　メルカトル図法とは

オランダのメルカトルが1569年に発表した円筒図法の1種で、経線は等間隔で、緯線はそれに直交するが緯度が高くなるほど広がり、緯度６０度では、赤道の2倍に表されている。そのため、長さや面積は高緯度ほど過大になるが、目的地まで常に同じ角度で進めるため航海には適している。（出典：Weblio辞書）

(�U)　等角航路とは

(�W)　メルカトル図法上での等角航路が直線になる理由

(�@)　地球儀を使って考える

(�A)　座標から考える

メルカトル図法の世界地図は緯線方向の拡大率と経線方向の拡大率が同じなので座標平面に見立てることが出来る。出発地点を(０,０)、目的地を(10,10)とする。するとこの線はＹ＝Ｘと表せる。この線はＹ軸と平行な全ての線と45°で交わっている。このことを地図に戻すとメルカトル図法上の直線が全ての経線と同じ角度で交わる等角航路をあらわしていると言える。

(�X)　感想！！！

授業で先生から教わった事をその場では分かった気になっていて後で考えるとあまりよく理解できていない事が多々あることを改めて実感した。このレポートのように自分で説明しなおす事で理解が深まることが今回分かったので今後の自分の勉強に活かしていこうと思う。

(1)等角航路とは何か
現在のようにGPSなどが存在していなかった時代では、
大圏航路を辿って目的地まで行くことは不可能に近
かった。何故なら、A地点から見て真東のB地点へ行
きたいと思っても、A地点から1mmでも進んだC地点から
見るとB地点は真東ではないからである。(図1)

しかし、等角航路なら経線に対する角度さえ一定に保
てば、つまりA地点からA地点を通る経線に対しa°で
進み始めたのなら、C´地点でもC´地点を通る経線に対
しa°で進めば、目的地(B地点)まで到着することが
可能であった。(図2)そこで、船乗員たちは正角図法
を用いた海図を好んで使用していた。

(2)メルカトル図法とは何か
緯線と経線が直交する円筒図法のひとつであり、どの
緯線も同じ長さにして表示している。例えば緯度が60°
の緯線の円周は、実際には赤道の円周の長さの1/2で
あるにも関わらず、地図上では赤道の1/2の縮尺、つまり
赤道と同じ長さで表現されている。
また、この「1/2の縮尺」に合わせて経線も縮尺が本来よ
り小さくなっており、高緯度になるほどその度合いは増し
ている。(この理由により、メルカトル図法では北極点・南
極点を表すことが不可能である)

(3)等角航路とメルカトル図法の関係
メルカトル図法は、その性質上、緯線と経線が
水平線とそれに垂直な線として表示されている。つまり、
経線がそれぞれ平行に表されている。ここで<1>より、
等角航路は経線に対して一定の角度を保つことを考
えると、平行線とそれに交わる直線は同位角を作
り出し、まとその同位角は等しい、ということから
メルカトル図法上では等角航路が直線で表さ
れるということがわかる。(図3)

メルカトル図法とは、オランダ人メルカトルが1569年に考案した図法で、円筒図法を改良し、緯線と経線の感間隔の拡大率が一定になるように書いた図法で、正角円筒図法とも言う。経緯線は平行な直線で、互いに直交し、面積・距離は高緯度ほど拡大される。（オランダ人というのは、かつてのウィキペディアの間違い・田代注）

等角航路とは、地球上の一地点と他の地点を結ぶ際に、つねに経線と一定の角度で交わるコースである。

メルカトル図法は上で述べたとおり、本来では北極点と南極点で交わるはずの経線を一定の拡大率で引き伸ばし、経線はどこでも一定の間隔になっている。

本来の地球はもちろん球形になっており経線は高緯度ほど幅が狭まるようになっている。地球議上では、表面上での二点間を結ぶ最短の線（直線）は大圏コースと重なる赤道上、二点が同緯度で無い限りは『常に経線と一定の角度で交わる』条件を満たさない。

メルカトル図法は緯線経線が直角に交わりどこでも幅が同じになっているので地図上の適当な2点を直線で引くと、その線が経線と交わる角は常に一定になる（下の図参照）。

これは等角航路の定義を満たしている。大圏コースとは一致せず目的地までの距離も長くなるが、舵角方向に舵をとっていれば目的地につく（大圏コースよりもずっと方向がつかみやすい）。これを正角性という。大航海時代には羅針盤によって舵角が容易にわかったため多く用いられた。

　経線が等間隔になっていないと、それと常に一定の角度で交わるには2点間を結ぶ線も経線に合わせて歪ませなければいけないために直線では表せない。そもそも正確図法でなければ『等角』などもってのほかだと思うし、正確図法の他のものも調べてみると例えば平射方位図法は経線が中心から放射上に広がっていて経線同士が平行になっていないため、『一定の角度で交わる』線を引こうとしても決して直線にはならない。またランベルト正確円錐図法も経線同士を平行に描いてはいないため等角航路は直線で描くことはできない。

　私は等角航路が地図上で直線で表せる条件は、地図が正角図法であることと、経線が平行に描かれていることだと思った。メルカトル図法はこの条件を満たす。

（１）メルカトル図法について

メルカトル図法は，地球儀上の任意の線により作られる角がそのまま地図上に再現されている『正角図法』である．これを実現させるためには，緯線方向の拡大率と経線方向の拡大率を一致させる必要がある．このメルカトル図法ではすべての緯線が赤道と同じ長さになっているので，その拡大率に合わせて経線の長さも拡大されている．そのため，高緯度地方では，距離も面積も著しく大きくなっており，極は表現できない．

（３）メルカトル図法で等角航路が直線になる理由

赤道と経線は直角に交わっているが，メルカトル図法において緯線はすべて赤道と平行に表記されているため，2点を取って結ぶとどの経線に対しても同じ角度で交わるから，等角航路は直線になる．と思う．

（４）感想

とても難しかったです．よく考えて出した結果はたった２行半で終わってしまいました．

しかも正解の自信も皆無に等しいです．

また，PCでのレポート作成はまだまだなれないことが多く，これからもっと腕を磨いていきたいと思いました．画像とか図とか分かりやすいものを入れるようにしていきたいです．

内容についてですが，メルカトル図法にかぎらず，地図を見ながら航海するのはとても難しいと思いました．道ならまだしも，海は目印もなさそうだし，しかも世界地図だと範囲がとてつもなく広いので．その中でも，メルカトル図法はより楽に進路が決められるような仕組みになっており，当時は大層便利に思われていたのだろうな，とおもいます．

地理はなかなか内容が難しくて，理解に苦労しますが，これからもしっかり授業を聞いて理解を深めていきたいと思いました．

メルカトル図法・・正角を目的としてメルカトルが作成した円筒図法

・正しい角度とメルカトル図法の地図上の２点を結ぶ直線と経線とのなす角が、北に対する角と同じ。　高緯度になるほど面積が大きくなる

・経度と緯度を格子状に配置させ、緯線と経線の比率を一定に保ったもので、「地球を円筒に投射し、それを書き写したものを長方形に広げ、縦方向に必要に応じて局所的な拡大を加えたもの」

〈考察〉

　メルカトル図法では、三次元の立体を二次元の平面上に表現

するため、投影法を用いている。しかし、地球儀を平面で表すと

大きな歪みが、発生するためメルカトル図法では円筒図法を用いていて角度はそのまま維持している。

　円筒図法は、投影面が地球に巻きつけた円筒状になる図法なので、すべての緯線が平行な直線で、すべての経線が等間隔かつ平行な直線となる。この途中で、正確な長さや角度にするために数式がたくさん出てくるが、簡単にまとめるとこのようなことである。

〈感想〉

　メルカトル図法は、授業で何度も出できたので自分なりに大体のことは、分かっているつもりでした。　でも、今回この課題をやってまだ理解しきってないところがいくつもあったことに気が付き、より理解を深めることが出来たのでよかったと思います。

　調べながら思ったことは、「なぜメルカトル図法では等角航路が直線になるのか」ということを説明するにはたくさんの式が出てきて数学が絡んでくるということです。何かわかりやすい方法はないかと色々考えてみたけれど、ここに書いたものが一番わかりやすいと思いました。でも、もっと簡単に説明できる方法があれば教えてください！！

　これからの授業で、今よりももっと知識が増えれば、今わからなかったこともだんだん理解できるようになると思います。

なので、これからも授業を大切にしていきたいです。

〈出典〉

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/reminder.htm

�@、メルカトル図法とは何か。

メルカトル図法とは1569年、フランドル出身の地理学者ゲラルドゥス・メルカトルがオランダで発表した地図に使われた地図投影法である。

この図法の特色は、経度と緯度が格子状に配置されていて、緯線と経線の拡大率が等しい。メルカトル図法の地図において、出発地と目的地との間に直線を引いて経線となす角度を測り、コンパスを見ながら常にその角度へ進むようにすれば必ず目的地に到着する。

�A、等角航路とは何か。

等角航路とは地球上の2点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度（この角度を舵角と言う。）が常に一定となるものをいう。

上の�@と�Aを比べると分かるのだが、つまり、

等角航路はある２点を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度が常に一定のものであり、メルカトル図法もまた、ある２点を結んだ直線が経線となす角は常に一定である。

よって、メルカトル図法では等角航路が直線になる。

�B、メルカトル図法の作図

前ページの言葉だけの説明では分かりにくいので、メルカトル図法の作図（下図）から、等角航路が直線になる理由を考えてみる。

上の図では、まず中心からの光で、緯線xが2xに拡大した場合xから赤道までのyも2yのところに2xの線を下げて修正している。これを一定比率で縮めて、最後にメルカトル図法で表している。

つまり、左の地球の図のx,yはメルカトル図法では同じ拡大率になり、経線となす２点の等角航路の角度がそれぞれ等しいので、メルカトル図法では等角航路が直線になる。

�C、感想

今回は初めての地理の課題だったので、パソコンでレポートを作ったり、スキャナで図を読み取るのに時間がかかって大変だった。けれど、パソコンのことも勉強になったので、良い機会になったと思う。次回の課題は、もう少しスムーズにできるといいと思った。

メルカトル図法についてくわしくは知らなかったけれど、本やインターネットで調べていると普段は考えないことを考えさせられておもしろかった。

�D、参考文献など。

・www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/mercator.htm

・  Wikipedia

・図解、表解　地理の完成　（山川出版社）

メルカトル図法・・・経線と緯線が直交する。

　　　　　　　　　　　　　　　⇒コンパス（常に北を示すから）に重なる。

かつてはGPSなどの機能がないため、メルカトル図法を利用して、コンパスの南北を経線に合わせ、船首を等角航路にあわせることにより目的地に到達できた。

このことを考える前に、まず、メルカトル図法と等角航路とはそれぞれどのようなものなのだろうか。

経線と緯線を格子状に配置させ、その比率を一定に保ったもので、「地球を円筒に投射し、それを書き写したものを長方形に広げ、縦方向に必要に応じて局所的な拡大を加えたもの」と言える。そのため「正角円筒図法」と呼ばれる。

引用：weblia辞書

ここで、メルカトル図法では、経線と子午線が地図上でも直交していることに注目してみる。つまり、地図上の任意の直線はすべての経線との交角が等しくなっている。また、等角航路は、常に経線と一定の角度で交わっている。つまり、すべての経線との交角が等しくなっている。ということは、メルカトル図法であらわされた地図上の任意の直線は、等角航路と同じ言葉で言えるのではないだろうか！！

だったら、メルカトル図法では等角航路が直線であらわされるはずである！！

上の図と同じ等角航路がメルカトル図法の地図であらわされると、次のようになる。

お・わ・り

１．メルカトル図法とは

特徴

・正角円筒図法

　地球儀上の任意の線により作られる角が、そのまま地球儀上でも再現されている。

　緯線方向の拡大率＝経線方向の拡大率

・すべての経線と緯線が直角に交わる。

・すべての経線は平行等間隔の直線で、赤道と同じ長さになっている。緯線間隔は

　縦横方向の拡大率が等しくなるように作図されている。そのため高緯度の面積の拡大が極端で極を表すことはできない。

　緯度６０度では長さが２倍、面積は４倍の拡大されている。

・等角航路を直線で表すことができる。

　→３．なぜ等角航路が直線になるのか

２．等角航路とは

等角航路とは、地球上の2点間を結ぶ航路のうち、進行方向が常に経線と一定の角度で交わるコース。

航海において２地点間に直線を引いて経線となす角度を測り、コンパスを見ながら常にこの角度へ舵を合わせて進んでいけば目的地へ簡単に行くことができる。

つまり、コンパスの針の指す方向を変えないで進むことができる。

地球上の2点を航路で結ぶことを考えた場合、地形や海流などの問題がなければ、最短距離を結ぶ大圏航路が、燃料や所要時間を節約できるので一番良い。

しかし、大圏航路を進むにはその位置に応じて常に舵角を修正する必要がある。現代ではGPSなどの方法で正確な現在位置を知ることができるので大圏航路を通って航海することは可能だが、しかしそのような物のなかった時代に、沿岸を離れて目印のない大洋を渡る航路を進むのはとても難しかった。

そのため等角航路は羅針盤により舵角がわかるため、大航海時代に広く利用された。

３．なぜ等角航路が直線になるのか

大圏航路を描いたメルカトル図法の地図を地球儀の形に戻すように曲面にしてみたら、経線に平行の直線になるのではないかと考えた。

メルカトル図法は、すべての経線と緯線を直角に交わらせるためにすべての経線を赤道と同じ長さになるようにのばしている。そのため、地球儀上では極は１点で表されているのにメルカトル図法では極も赤道と同じ長さで表されている。

上図のようなメルカトル図法を地球儀の形に直そうとすると、図中の矢印のように地図を動かす必要がある。そうすると、大圏航路の頂点部分の経線はあまり動かず、西宮市とロサンゼルス部分の経線は大きく矢印方向に動くことになる。

よって、メルカトル図法上では曲線で表されていた大圏航路が地球儀上では直線で表わされるのではないか。 

さらに、メルカトル図法上では直線で表される等角航路は地球儀上では曲線になる。

大圏航路のときとは逆で、等角航路は地球儀上では経線に平行の曲線になる。

上図のような地球儀をメルカトル図法に直そうとすると図中の矢印のように動かす必要がある。そうすると西宮市とロサンゼルス部分の経線は矢印方向に動くことになる。

よって、地球儀上では曲線で表されていた等角航路がメルカトル図法上では直線で表わされる。

出典

・http://atlas.cdx.jp/projection/prj13.htm　　メルカトル図法

・http://www.sanynet.ne.jp/~azeta/jugyo/kyozai/mercator/kakudo.htm

　メルカトル図法の特徴

・http://www.sanynet.ne.jp/~azeta/jugyo/kyozai/mercator/kouro.htm

　大圏航路と等角航路

・その他　授業プリントなど

４．感想

今回この「なぜ等角航路が直線になるのか」のレポートを書くにあたって、まずはインターネットで調べても等角航路が直線になる理由まで書いてある資料が全然見つからなくて苦労しました。自分なりにも考えてみてなんとか書き終えることができたけれど、納得する説明ができてなくてまったく間違ったことを書いていると思います。

でも少なくともメルカトル図法や等角航路などについては今までの復習ができたし、今まで理解できていなかったことを知ることができました。

また、メルカトル図法についてよく復習したかったので、今回のレポートのテーマからそれてしまうかもしれないけれど「メルカトル図法とは」「等角航路とは」も調べて書いてみました。

メルカトル図法や等角航路だけではなく、他の地図の図法などにも、まだ細かいところまで理解しきれていないところがあると思うのでこの機会に復習したいです。

さて。

何を聞かれているのかさっぱりになってしまったので、

まず、コンパスを使って航海するときの方法を考えてみた。

メルカトル図法の中の現在地そして目的地を直線で結び、その線と経線がつくりだした角度を測る。

例えばそれが１５０度なら、常にコンパスの指す方向から１５０度になるように進む。すると、最短距離ではないにしろ目的地に必ずたどり着く。

・・・地球を制作してみた。

「メルカトル図法で、等角航路が直線になるのはなぜか？」

これが課題である。

≪まとめ≫

課題を言いかえるなら、「なぜ、メルカトル図法上の出発地点と目的地をを結んだ直線が、等角航路なのか。」ということになる。

メルカトル図法は経線・緯線が垂直に交わるようになっている。

等角航路の紐は全ての部分に「経線に対して∠X。」という条件が付いていた。

これによって、上下に真っ直ぐ平行に並んだ経線に対して、等角航路の紐は常に∠Xで交わるため、等角航路は直線になるのだ。

そしてその紐の先、つまり直線で示された航路の目的地がAの位置を示すように地図を補正してAの位置と航路を対応させたのである。

この対応のさせ方に、元の心射図法が関わっている。

赤道付近は変化が少なく極に近づくにつれて変化が大きい。

よって極に近づくにつれて補正も多くしなくてはならないのだ。

つまり、メルカトル図法はとある∠Xで常に進む航路がたどりつくであろう地点が直線に並ぶように地図を補正したため、等角航路が直線であらわされているのである。

≪感想≫

分からないとなったらとにかく何かやってみようと、考えなしに（しかしテンションは高めで）いろいろやってみましたが・・・。

それなりに私の中では納得したんですけど・・・実際ただ角度合わせただけで目的地にたどり着けるのかなぁとか思ってたんで。

等角航路についての部分がちゃんと説明になってるかどうかは怪しいです。

（楽しかったですけどね。）

私も久しぶりに頭を働かせて・・・工作しました。（あれ？）

それなりにひらめいたような心地なのでこれで終わりにします。

≪参考・引用≫

・http://atlas.cdx.jp/projection/prj13.htm

・田代先生のサイト

　メルカトル図法は、経線に対して等角に直線上に進むと目的地に到達するという特徴を持っている。この図は、赤道で地球に接する円筒面に地図を投影することによって得られるため経線と緯線が直交する。これらの特徴よりメルカトル図法の場合、任意の二点間を直線で結んだものをたどれば目的地に着くことになる。では何故こうなるのか。

●メルカトル図法

メルカトル図法とは、1569年に地理学者のゲラルドゥス・メルカトルが発表した地図投影法である。特徴としては、正角法であることが挙げられる。地図を円筒に投射し、それを書き写したものを長方形に広げ、緯線方向の拡大率＝経線方向の拡大率となるように拡大した地図である。

出発地と目的地との間に直線を引いて経線となす角度を測り、コンパスを見ながら常にその角度に進むようにすれば必ず目的地に達する。この航路を等角航路という。そして、この等角航路は必ず直線になる（今回の課題の内容）。しかしこの等角航路は最短コースではなく、曲線である大圏航路が最短コースとなる。（図１参照、赤い直線が等角航路）

大航海時代、船乗りにとって一番大事なことは目的地までの進を決めることであったので、磁石の針の指す方向を変えないで進むことができればよいということでそれの通用するメルカトル図法の等角航路が使われた。実際、大圏コースによる航海は難しかった。

図３を図にすると次のようになる。

�@    次に、東京から観測者が東に向かって移動を続けることを想定し、経度15度ごとに経線と直角になるように紙テープを引いてみた。すると、アメリカ大陸方向に行くに従い『東』が段々上の方へとずれてきているのが分かった。（図５参照）

このことより、調べてみる経線の幅をどんどん細かくしていけば、経線に対して直角の線というのは、緯線に沿う形となることが推測できる。緯線に沿うということは直線上にあるということである。この場合、東京とサンフランシスコとほぼ同緯度上にある都市を用いて実験したので、等角航路は緯線に沿う形となったが、そうでない２点においても同じように実験すれば等角航路は直線となる。また、メルカトル図法の地図での方角と同じ方角に直進すれば目的地にたどりつく。

メルカトル図法とは

メルカトル図法は、1569年、フランドル出身の地理学者ゲラルドゥス・メルカトルがオランダで発表した地図に使われた地図投影法である。円筒図法（経線と緯線が直交する図法のこと）のひとつで、その正角性から正角円筒図法ともいう。1枚の長方形中に世界図を書き込む事ができ、経線からの角度が正しい等角図法であるため、海図・航路用地図としてよく使われる。（オランダで、というのはかつてのウィキペディアの間違い・田代注）メルカトル図法は、直線上の方向は正確だが、距離や面積に関しては不正確と言う欠点がある。極に近づくにつれ緯線の間隔が広くなる特徴を持ち、極近辺は無限遠となって記述すらできなくなるので、極の部分はカットされていることが多い。

※図の●は、もとはすべて同じ大きさのものである。しかし、メルカトル図法に合わせて緯線と経線が直角に交わるように縮尺を変えると、こんなにも大きさに差が出てしまう。

⇒経線からの角度が等しくなる

　場所によって尺度が異なるため距離に誤差が生じる

（図2；メルカトル図法上での等角航路と大圏航路（=最短コース）の比較）

（図3；地球儀上での等角航路と大圏航路の比較）

この図を見ると、実際には等角航路よりも大圏航路の方が短いルートで結ばれていることがわかる。

調べてみた感想

　「等角航路が（メルカトル図法上では）直線であらわされている」というのは知っていたけれど、“何故”そうなるのかは知らなかった、というよりもそれが“当たり前”だと思っていたため、実際に“何故そうなるのか”調べるのはとても苦労した。しかし、調べているうちに課題に対してだけでなく、地図全体に対しての理解を深めることができた。

まず、メルカトル図法について説明したい。

オランダの地理学者メルカトルが1569年に創案したものである。

メルカトル図法とは、地図投影法の一種で地球の赤道に接する円筒面上に投影したもの。(右図)　そのため、経線と緯線は互いに直交し、緯線は経線に対して高緯度になるほど間隔が広くなって行く。その分経線は等間隔の平行線で緯線に合わせて同じ割合で南北に長くする。それにより相似となり、これは正角図法である。つまり、メルカトル図法の地図に、どんな直線を引いても経線(緯線とも)とのなす角はどこでも常に一定である。ちなみに、定義で正角図法とは地球上の任意の方向角が地図上の任意の地点で常に正しく表わされる地図投影法のことである。しかし、横にも縦にも伸ばして相似を作っているため、長さも面積もおかしくなる。

次に等角航路について説明したい。等角航路とは地球上の2点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度（舵角）が常に一定となるものをいう。

　飛行機等、地形や海流に影響されず、かつGPS機能等現在地を容易に知ることのできるハイテクなシステムがある今では最短距離を結ぶ大圏航路が非常に便利であるが、当時は大航海時代であり、もちろん頼れるものと言えば、太陽・月・天体・羅針盤のみである。そのため、上記のような「とりあえず確実に目的地にたどり着ける」等角航路が用いられていたのだ。

　メルカトル図法と等角航路の説明をもう一度見てほしい。

　等角航路とは地球上の2点間を結ぶ航路のうち、進行方向が経線となす角度（舵角）が常に一定となるもの…

メルカトル図法の地図に、どんな直線を引いても経線(緯線とも)とのなす角はどこでも常に一定である…

どうだろうか。見事にメルカトル図法の地図に等角航路が直線で表わせることがわかるだろう。

感想

文章を書くことを小学生の時にサボりにサボっていたせいか、全然上手く書けませんでした。しかも、図をスキャンしたりPCで書いたりする高度な技術がないため、今回はサイトの中から使えそうなものをコピーすることしかできませんでした。訳が分からないものに成っていたらごめんなさい。

それはさて置き、今回改めてメルカトル図法ではなぜ等角航路が直線になるのかを考えてみて一番感じたことは、「よく、こんなことを今ほど物も情報もなかった昔の時代に、考え付いたな。」ということです。

私が当時の人間だったら、天体なんて地球外の意味分からない丸い物体を信じて航海に出かけてみよう！なんて絶対に思いつかないし信じられなかっただろうし、メルカトル図法も絶対に思いつかないし、メルカトル図法が海図に使えるだろうとも絶対に思いつけなかったです。

本当に昔の人々は凄いと思いました。

出典：フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

へ向かう直線とは別のもの。
地球表面を通り，経線に対して直角に交わる「直線」が複数存在し得るのは地球表面が曲面であるせいである。
　ともかく，磁石の針を見つつ“北に対して右９０度”つまり「東」の方角へ針路を維持して進んでいけば，同じ緯線上の目的地へ到達することができる。
これは「真東」だけでなく，“北に対して右４５度”つまり「北東」でも，“北に対して左１３５度”つまり「南西」でも同じである。
　この理屈に基づく航海法を「等角航法」とよび，羅針盤（方位磁石）の普及とともに発達した。そして，このときの針路（等角航路）を常に直線で表すことができるように工夫された地図が「メルカトル図法」の地図なのである。
　しかし，この地図では子午線（経線）に沿って南北に移動する，あるいは赤道上を東西に移動するとき以外の大圏航路，つまり２地点間の最短距離線および「方位線」を直線で表現することはできない。
　それもこれも，大地が平面ではなく，地球が丸いせいなのである。

ここで触れたのは、方角と方位の違いについての話。